$\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{a}-2$ হলে, $a\sqrt{a}-\frac{1}{a\sqrt{a}}$ = কত ?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\(\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{a} - 2\)

ধরি, \(\sqrt{a} = x\)। তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

\(\frac{1}{x} = x - 2\)

উভয়পক্ষকে \(x\) দ্বারা গুণ করে পাই:

\(1 = x(x - 2)\)

\(1 = x^2 - 2x\)

সমীকরণটিকে পুনরায় সাজিয়ে লিখলে পাই:

\(x^2 - 2x - 1 = 0\)

কিন্তু প্রদত্ত সমস্যা সমাধানের জন্য, \(\frac{1}{x} = x - 2\) সমীকরণটিকে \((x - \frac{1}{x})\) আকারে প্রকাশ করলে বেশি সুবিধাজনক হবে।

সমীকরণ \(\frac{1}{x} = x - 2\) থেকে পাই:

\(x - \frac{1}{x} = 2\)

এখন, আমাদের \((a\sqrt{a} - \frac{1}{a\sqrt{a}})\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি যে, \(a\sqrt{a} = (\sqrt{a})^2 \cdot \sqrt{a} = (\sqrt{a})^3\)।

যেহেতু আমরা \(\sqrt{a} = x\) ধরেছি, তাই প্রদত্ত রাশিটি দাঁড়ায়:

\((\sqrt{a})^3 - \frac{1}{(\sqrt{a})^3} = x^3 - \frac{1}{x^3}\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3}\) এর মান নির্ণয়ের জন্য আমরা বীজগাণিতিক সূত্রটি ব্যবহার করব:

\(A^3 - B^3 = (A - B)^3 + 3AB(A - B)\)

এখানে, \(A = x\) এবং \(B = \frac{1}{x}\) বসিয়ে পাই:

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3(x)(\frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3(x - \frac{1}{x})\)

আমরা আগেই পেয়েছি, \(x - \frac{1}{x} = 2\)। এই মানটি সূত্রে বসিয়ে পাই:

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = (2)^3 + 3(2)\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = 8 + 6\)

\(x^3 - \frac{1}{x^3} = 14\)

সুতরাং, \(a\sqrt{a} - \frac{1}{a\sqrt{a}}\) এর মান হলো 14।